当顾客在酒店摔倒时，首先应当由酒店的前台、客服或安保部门负责处理。以下是详细的处理流程及责任划分：
处理流程：
- 初步响应：顾客摔倒后，应立即向酒店工作人员报告。前台、客服或安保部门会迅速抵达现场，进行初步的事故调查，包括了解摔倒的具体原因、评估伤势，并可能采取紧急救助措施，如联系医疗急救服务。
- 管理层协调：酒店管理层也会被及时通知，以便进一步协调处理相关事宜，包括与顾客沟通、解决问题，并确保顾客得到妥善安置。
责任划分：
- 酒店责任：若酒店未能提供必要的安全保障措施，如地面湿滑未及时清理、未设置警示标志等，导致顾客摔倒受伤，则酒店应承担相应的侵权责任。酒店需赔偿顾客因摔倒所产生的医疗费用、误工费等合理损失。
- 顾客责任：如果顾客自身存在过错，如穿着高跟鞋在湿滑地面快速行走等，可适当减轻酒店的责任。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第1198条规定，宾馆等经营场所、公共场所的经营者、管理者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
- 同时，《中华人民共和国消费者权益保护法》及其实施条例也明确了酒店作为经营者、管理者，应当对消费者尽到安全保障义务。
综上所述，当顾客在酒店摔倒时，应由酒店的前台、客服或安保部门首先负责处理，并根据具体情况划分责任。如果酒店未尽到安全保障义务，将承担相应的侵权责任。如果您在酒店摔倒并遇到纠纷，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议和支持。