针对您提出的问题，当中标通知书已经公示，但业主迟迟不签合同履行职责的情况，您可以采取以下措施来应对：
首先，需要明确的是，中标通知书对招标人和中标人具有法律效力。根据《中华人民共和国招标投标法》的相关规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出之日起三十日内，按照招标文件和中标人的投标文件订立书面合同。如果招标人无故不签订具体合同，将构成缔约过失责任。
针对这种情况，您可以：
与业主进行沟通：
- 尝试与业主进行积极沟通，了解其不签合同的具体原因，是否存在误解或困难，并寻求解决方案。
- 提醒业主中标通知书的法律效力以及双方应遵守的合同约定，强调按时签订合同的重要性。
发送正式函件：
- 如果沟通无果，可以向业主发送一份正式函件，明确指出中标通知书已公示且具有法律效力，要求其在规定时间内履行合同签订义务。
- 在函件中提及可能的法律后果，如缔约过失责任及可能面临的罚款等，以促使业主采取行动。
向行政监督部门投诉：
- 如果业主仍然拒绝签订合同，您可以向有关行政监督部门（如建设行政主管部门）进行投诉。
- 提供相关证据材料，包括中标通知书、招标文件、投标文件以及双方沟通记录等，以证明业主的违约行为。
寻求法律救济：
- 如果行政监督部门的处理未能解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自身权益。
- 咨询专业律师，了解具体的法律诉讼程序及可能获得的赔偿或救济措施。
在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，遵循法律法规和合同约定，通过合法途径来维护自身权益。同时，也要注意与业主的沟通和协商，以寻求双方都能接受的解决方案。