判决被法院裁定不予执行后，当事人通常有权提起诉讼。但具体操作需根据纠纷类型和法律规定来进行。以下是对不同情况下当事人权益的详细阐述：
一般经济纠纷：
- 对于国内一般经济纠纷，若仲裁裁决（这里指仲裁裁决作为执行依据的情况，与诉讼判决类似）被人民法院裁定不予执行，当事人可以选择重新申请仲裁或向人民法院起诉。如果当事人不愿意或无法重新达成仲裁协议，他们可以直接向有管辖权的人民法院提起诉讼。
劳动争议仲裁：
- 对于劳动争议仲裁，当劳动仲裁裁决被人民法院裁定不予执行时，劳动者和用人单位同样享有向法院提起诉讼的权利。但需要注意的是，劳动争议案件的诉讼提起有一定的时效限制，即应自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
其他特殊情况：
- 除了上述两种情况外，还可能存在其他类型的纠纷和特殊的法律规定。在这些情况下，当事人是否有权提起诉讼以及具体的诉讼程序，需要根据具体的法律规定和案件情况来确定。
综上所述，判决被法院裁定不予执行后，当事人原则上均享有再次寻求司法救济进行诉讼的权利。但具体操作时，应仔细研究纠纷的具体类型和相关的法律规定，以选择合适的救济途径。同时，对于劳动争议等有特殊时效规定的案件，当事人应特别注意时效期间，以免因错过时效而丧失维权机会。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。