关于公司解除劳动关系时的赔偿问题，这确实是一个涉及多种情形和细节的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：

一、公司无需支付赔偿的情形

在某些情况下，如果劳动者存在过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿。这些情形包括：

• 试用期间不符合录用条件；
• 严重违反公司规章制度；
• 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
• 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正；
• 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
• 被依法追究刑事责任。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除；
2. 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；
3. 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；
4. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议；
5. 公司因经济原因需裁减人员，如破产重整、生产经营困难等；
6. 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外；
7. 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照等。

经济补偿的计算标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

额外注意事项

• 如果公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 具体赔偿金额的计算应结合实际解除情形、员工工资、工作年限等因素综合判定。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这不仅有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。如果您在具体操作中遇到任何问题或疑问，建议咨询专业法律人士以获取更准确的指导。