针对非法行医当事人逃跑的情况，我们确实需要从多个方面进行综合处理，以确保法律责任的全面追究和受害者权益的有效保护。以下是对此问题的详细解答：
一、行政处理方面
及时报案：
- 一旦发现非法行医者逃跑，应立即向当地卫生健康行政部门报案。报案时，提供尽可能多的关于非法行医者的信息，如姓名（如知悉）、外貌特征、常用联系方式、可能的藏身地点以及行医地点等，以便行政部门能够迅速开展调查。
启动调查与证据收集：
- 卫生健康行政部门在接到报案后，会立即启动调查程序。通过询问周边群众、查看现场遗留物品、调取监控录像等多种方式，全面收集非法行医的相关证据。即使非法行医者逃跑，只要有确凿证据，行政部门仍可依法作出行政处罚决定。
追逃与监管：
- 卫生健康行政部门会将逃跑的非法行医者列入重点监管名单，并与公安机关等部门建立联动机制，协助对逃跑的当事人进行追逃。同时，加强对相关区域的巡查和监管力度，防止非法行医行为的再次发生。
二、刑事追责方面
刑事立案与侦查：
- 若非法行医行为造成患者身体健康损害达到一定程度，符合《中华人民共和国刑法》中关于非法行医罪的构成要件，公安机关将进行刑事立案侦查。即使犯罪嫌疑人逃跑，公安机关也会发布通缉令，并采取有效措施追捕归案。
通缉与追捕机制：
- 公安机关可根据案件情况，通过全国在逃人员信息系统发布通缉令，在全国范围内通缉逃跑的非法行医犯罪嫌疑人。同时，运用技术侦查手段、调查嫌疑人的社会关系等方式，追踪其下落并及时抓捕。
法律程序的推进：
- 犯罪嫌疑人逃跑并不影响司法机关对案件的侦查、起诉和审判程序的推进。一旦犯罪嫌疑人到案，司法机关将依法对其进行审判，并根据其犯罪行为的严重程度作出相应的刑罚判决。
三、民事赔偿方面
确定损害并收集证据：
- 患者或其家属在遭受非法行医行为损害后，应及时收集相关证据，包括病历、诊断证明、医疗费票据、误工证明等，以明确损害范围和程度。
提起民事诉讼：
- 即使非法行医当事人逃跑，患者或其家属仍可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，要求非法行医者承担民事赔偿责任。法院将通过公告送达等方式向被告送达诉讼文书，并根据相关法律规定判决赔偿相关费用。
执行判决：
- 若法院作出有利于患者或其家属的判决，但非法行医者未履行赔偿义务，患者或其家属可在判决生效后向法院申请强制执行。法院将通过多种执行手段实现患者的民事赔偿权益。
综上所述，对于非法行医当事人逃跑的情况，我们应从行政、刑事和民事三个方面进行综合处理。同时，也呼吁广大民众积极举报非法行医行为，共同维护医疗卫生行业的秩序和患者的健康安全。