责任保险与教育机构责任纠纷不属于同一法律关系。下面我将对此进行详细分析：

一. 责任保险的定义与性质

1. 定义：责任保险是指保险人对被保险人因依法应对第三者承担的赔偿责任而受到的损失进行赔偿的保险。它是一种风险转移的方式，通过支付保险费，将可能因特定事故产生的赔偿责任转移给保险公司。
2. 性质：责任保险属于保险合同关系，是投保人与保险公司之间基于保险合同而产生的权利义务关系。

二. 教育机构责任纠纷的定义与性质

1. 定义：教育机构责任纠纷通常指的是在教育机构内，因教育机构或其工作人员的过错，导致学生或其他人员受到损害而引发的赔偿纠纷。
2. 性质：教育机构责任纠纷属于侵权责任或合同责任关系，是教育机构与受害者之间基于侵权行为或合同关系而产生的权利义务关系。

三. 两者关系的分析

1. 法律关系不同：责任保险是投保人与保险公司之间的保险合同关系，而教育机构责任纠纷是教育机构与受害者之间的侵权责任或合同责任关系。两者在法律关系上完全不同。
2. 产生基础不同：责任保险的产生基于保险合同的签订，而教育机构责任纠纷的产生则基于教育机构或其工作人员的过错行为。
3. 处理方式不同：责任保险的处理通常依据保险合同的约定进行，涉及保险公司的赔偿义务；而教育机构责任纠纷的处理则依据相关法律法规，涉及教育机构的赔偿责任。

综上所述，责任保险与教育机构责任纠纷在定义、性质以及处理方式上均存在显著差异，因此它们不属于同一法律关系。如有进一步需要，您可以继续咨询我。