政府不可以委托医院做工伤鉴定。工伤鉴定，也称工伤认定，是劳动行政部门（一般为人力资源和社会保障局）依据法律的授权对职工因事故伤害（或者患职业病）是否属于工伤或者视同工伤给予定性的行政确认行为。这是一项严肃的行政确认行为，需要严格按照法定程序和规定进行。

关于工伤鉴定的费用，一般来说，工伤认定是不收费的。但如果涉及到劳动能力鉴定（即伤残等级鉴定），那么根据地区不同，可能会有一定的费用。具体费用标准由各地根据实际情况制定，并会向社会公布。如果你需要进行劳动能力鉴定，建议提前咨询当地的人力资源和社会保障局或者相关鉴定机构，了解具体的费用标准和鉴定流程。

总之，工伤鉴定是一项专业的行政确认行为，需要由具有法定职责的行政机构进行。如果你对工伤认定或者劳动能力鉴定有任何疑问，都可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况给出详细的解答和建议。