当客户与兴业银行在信用卡欠款、贷款还款等业务中出现严重违约，且经多次有效催收仍不偿还时，兴业银行95561所说的起诉是真实存在的可能性。具体分析如下：
一. 起诉的可能性及条件
逾期未还款：根据银行业务规定及合同法原则，若客户在兴业银行的贷款或信用卡账户中存在逾期未还款的情况，且逾期金额较大或逾期时间较长，银行有权通过法律途径追讨债务。这是银行维护自身权益的合法手段。
多次催告无果：在决定起诉前，银行会按照内部流程，通过短信、电话、正式催款函甚至律师函等方式进行多次有效催收。若客户对这些催收通知置之不理，或未能履行还款义务，银行起诉的可能性会大大增加。
诉讼成本与考量：虽然银行有权利起诉，但也会综合考虑诉讼成本、时间和精力等因素。因此，在起诉前，银行可能会再次与客户沟通协商，尝试通过和解或达成还款协议的方式解决纠纷。
二. 应对措施与建议
核实情况：客户在收到银行关于起诉的短信或通知后，应第一时间与银行联系，核实欠款金额、逾期时间等具体信息，确保对自身债务状况有清晰了解。
积极协商：建议客户主动与银行协商，寻求合理的还款方案。如确实无法一次性还清欠款，可向银行申请分期还款或其他灵活的还款方式，以减轻经济负担并避免法律纠纷的进一步升级。
准备应对：若银行确实提起诉讼，客户应积极配合法院的调查和审理工作，同时考虑咨询专业的法律人士或寻求法律援助，以保护自身合法权益。
三. 法律后果与警示
承担还款责任：若法院判决客户败诉，客户将需要承担全部的还款责任，包括本金、利息、滞纳金以及诉讼费用等。
强制执行措施：如客户拒不履行法院判决，银行有权申请法院采取强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等，以确保债权的实现。
信用记录受损：客户的失信行为将被记录在个人信用报告中，对未来申请贷款、信用卡等金融服务造成严重影响。
我建议客户应认真对待银行的催收通知，及时采取措施以避免法律纠纷和不利后果。如有进一步需要，您可以继续咨询我。