与本案当事人之间存在其他利害关系，可能影响案件公正审理的，通常指的是除法律明确规定的回避情形外，审判人员、检察人员、侦查人员等因与案件当事人存在某种利益关联或可能影响其公正判断的关系，而应当回避的情况。具体分析如下：

一. 利害关系的界定

1. 广义理解：利害关系并不局限于直接的经济利益，还可能包括情感关系、亲属关系、友人关系、敌对关系等，任何可能影响公正判断的关系都可能被视为利害关系。
2. 法律原则：虽然具体法律条文中可能未详细列举所有利害关系的形式，但法律原则要求，只要这种关系可能影响案件的公正审理，相关人员就应当回避。

二. 影响案件公正审理的判断

1. 客观标准：判断某种利害关系是否会影响案件公正审理，应基于客观标准，如该关系是否可能导致审判人员在审理过程中产生偏见或偏袒。
2. 主观感受：同时，也应考虑当事人的主观感受。如果当事人认为某种利害关系可能影响案件的公正性，并提出合理的回避申请，法院应当予以重视并审查。

三. 法律后果

1. 回避义务：一旦发现与本案当事人存在其他利害关系，可能影响案件公正审理的情况，相关人员（如审判人员、检察人员、侦查人员等）有义务主动申请回避。
2. 回避决定：如果相关人员未主动申请回避，当事人也有权向法院提出回避申请。法院应当对回避申请进行审查，并作出是否准许的决定。

四. 实例说明

• 例如，某法官与案件当事人是远房亲戚，虽然这种关系在法律上可能并未明确列为回避情形，但如果当事人认为这种关系可能影响案件的公正审理，并提出回避申请，法院应当进行审查。如果审查认为这种关系确实可能影响案件的公正性，法院应当准许回避申请，并更换审判人员。

我建议，在理解“与本案当事人之间存在其他利害关系，可能影响案件公正审理的”这一表述时，应关注其广义性和客观性，同时考虑当事人的主观感受，以确保案件的公正审理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。