即使已经成为失信被执行人，银行仍然有权起诉。具体分析如下：

一. 失信被执行人的法律地位

• 失信被执行人是指在执行过程中，因未履行生效法律文书确定的义务，被人民法院依法纳入失信被执行人名单的人。这一身份主要影响其在交通、高消费等方面的行为，并受到法律的严格限制。
• 然而，失信被执行人的身份并不剥夺其作为民事主体的诉讼权利，包括起诉和应诉的权利。

二. 银行的起诉权利

• 银行作为债权人，如果认为其债权受到侵害或未得到履行，无论债务人是否为失信被执行人，都有权依法向人民法院提起诉讼，以维护自身的合法权益。
• 银行的起诉需要符合《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十二条规定的起诉条件，即原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实、理由；属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。

三. 起诉与失信被执行人身份的关系

• 失信被执行人身份并不影响银行作为债权人提起诉讼的权利。即使债务人已经被纳入失信被执行人名单，银行仍然可以就未履行的债务向法院提起诉讼。
• 同时，如果银行提起诉讼并胜诉，法院可能会根据判决结果对债务人的财产采取进一步的执行措施，以偿还债务。

综上所述，即使已经成为失信被执行人，银行仍然有权起诉以维护其债权。因此，建议失信被执行人积极与银行协商解决债务问题，以避免进一步的法律纠纷和不良后果。如有进一步需要，您可以继续咨询我。