在公司管理中，开除员工且不需要赔偿的情况相对较为特殊，通常涉及员工自身的严重过错或违法行为。以下是一些常见的情况，在这些情况下，公司开除员工通常不需要支付经济补偿：

1. 员工严重违反公司规章制度：

   • 如果员工的行为严重违反了公司的规章制度，且这些规章制度是合法、合理且经过公示的，公司有权依据规章制度开除员工，且无需支付经济补偿。例如，员工多次无故旷工、严重失职、营私舞弊等。

2. 员工严重失职，营私舞弊，给公司造成重大损害：

   • 如果员工在工作中严重失职，或者利用职权营私舞弊，给公司造成了重大损害，公司可以依法开除员工，并且无需支付任何经济补偿。

3. 员工被依法追究刑事责任：

   • 如果员工因犯罪被依法追究刑事责任，公司可以依据劳动合同法的相关规定开除员工，且无需支付经济补偿。这是因为员工的犯罪行为已经严重违反了社会公德和职业道德，公司有权解除与其的劳动关系。

4. 试用期员工不符合录用条件：

   • 在试用期内，如果员工被证明不符合录用条件，公司可以依法解除与员工的劳动合同，且无需支付经济补偿。但需要注意的是，公司必须能够证明员工确实不符合录用条件，且录用条件是合法、明确且经过双方确认的。

5. 员工与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响：

   • 如果员工在未与公司解除劳动关系的情况下，与其他用人单位建立劳动关系，且这种双重劳动关系对完成本单位的工作任务造成了严重影响，公司可以依法开除员工，且无需支付经济补偿。

综上所述，公司在开除员工且不需要赔偿的情况下，通常是因为员工自身存在严重过错或违法行为。但公司在行使开除权时，必须确保自己的行为符合法律法规的规定，避免引发不必要的法律纠纷。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。