打了人轻微伤刑拘37天寻衅滋事罪不判刑通常不会留下案底。以下是详细分析：

1. 37天刑事拘留的法律意义：

   • 在我国刑事诉讼程序中，公安机关对被拘留的人认为需要逮捕的，会提请人民检察院审查批准。对于一般案件，刑事拘留的最长期限为30天；但对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日，加上人民检察院作出决定的7天，合计最长可达37天。

2. 没有逮捕与案底的关系：

   • 如果在37天内，检察机关经审查认为犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或现有证据不足以证明其实施了寻衅滋事行为，将作出不批准逮捕的决定。若后续再无新证据证明犯罪，公安机关通常会撤销案件，犯罪嫌疑人不会被起诉和审判，因此不会留下案底。
   • 即使因犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚而被释放，虽然公安机关或检察机关可能会有相关记录，但这并不构成刑事案底。

3. 案底的定义：

   • “案底”通常指的是因犯罪被法院判决有罪后，在个人档案中留下的犯罪记录。仅因刑事拘留并不必然导致案底产生，案底的形成是基于法院的判决。

4. 特殊情况的说明：

   • 如果虽然未被逮捕或判刑，但因违反了治安管理处罚法而受到治安处罚，这会留下治安处罚记录。然而，治安处罚记录与刑事案底性质不同，不影响个人在法律上的无罪状态。

综上所述，对于寻衅滋事案件中的嫌疑人而言，如果在37天内没有被逮捕或后续没有被法院判定有罪，通常不会留下案底。如果你对此有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。