当您的车辆停在路边的公共车位被树枝砸到损害时，您可以根据以下步骤来处理并确定起诉对象：

首先，明确责任主体：

1. 自然灾害导致：如果树木因不可抗力（如狂风、暴雨等自然灾害）而倾倒砸车，且您的车辆停放在合法合规的位置，那么这通常属于保险责任范围，您应向车辆投保的保险公司申请理赔。

2. 管理不善造成：如果树木因管理养护不当（如老化、病虫害未处理等）而倾倒，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十七条，林木的所有人或者管理人不能证明自己没有过错的，应当承担侵权责任。在这种情况下，您可以向负责该树木管理养护的单位（如市政管理部门、小区物业等）提出索赔要求。

   • 市政园林范围：若车辆在市政园林范围内的停车位被砸，联系市政部门协商赔偿事宜，可能通过其保险进行赔付。
   • 小区内：若车辆在小区内被砸，找小区物业或树木负责人协商赔偿。

3. 第三方原因：如果树木是因第三方过错（如其他车辆撞倒树木）而倾倒导致您的车辆受损，那么第三方应承担赔偿责任。在这种情况下，您同样可以先向保险公司申请理赔，然后保险公司可能会向第三方进行代位追偿。

其次，采取相应行动：

• 保留证据：无论哪种情况，您都应首先确保自己的安全，并尽可能保留现场证据，包括拍照记录车辆受损情况、树木状态以及周边环境等。
• 报警并通知保险公司：及时拨打122报警电话，并向车辆投保的保险公司报告事故情况，按保险公司要求填写理赔申请表格，并提供相关证明材料。
• 协商或起诉：在明确责任主体后，您可以先尝试与对方协商赔偿事宜。如果协商不成，您可以考虑通过法律途径提起诉讼，要求对方赔偿您的损失。

结论：

因此，当您的车辆停在路边的公共车位被树枝砸到损害时，您应根据树木倾倒的具体原因来确定起诉对象。如果是自然灾害导致，应向保险公司申请理赔；如果是管理不善造成，应向负责管理的单位提出索赔要求；如果是第三方原因，应向第三方或保险公司寻求赔偿。在处理过程中，请务必保留好相关证据，并咨询专业律师以确保您的权益得到充分保护。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。