针对80岁老人补办结婚证的问题，首先我要说明的是，无论年龄大小，补办结婚证的流程在大体上是一致的。但考虑到老年人的特殊情况，我们会尽量提供便利和简化流程。

按照相关规定，如果婚姻登记证遗失或损毁，可以向原办理该婚姻登记的机关或一方常住户口所在地婚姻登记机关申请补领。对于您提到的老人长期居住在和平区新兴街，但当年的婚姻登记处已不存在的情况，他们完全可以在和平区民政婚姻登记处申请补办结婚证。

在申请补办时，需要准备以下材料：

1. 双方的有效身份证件，如身份证、户口本等；
2. 如有可能，提供加盖查档专用章的婚姻登记档案复印件。这一步骤可能需要前往原婚姻登记地或相关档案管理部门进行查询和复印，但由于老人年龄较大且情况特殊，这一步骤可以尝试通过委托他人或联系相关部门进行便利化处理。

另外，您提到老人腿脚不便的问题，这确实是我们需要特别关注的情况。虽然目前大多数婚姻登记处可能还没有提供上门办理服务，但您可以尝试联系当地的婚姻登记处，说明老人的实际情况，看是否能够提供上门服务或者其他的便利措施。同时，也可以考虑通过委托亲友或律师等代理人前往办理，以减轻老人的负担。

最后，我要强调的是，补办结婚证虽然需要一定的时间和精力，但考虑到老人可能急需这份证件来办理其他事务（如计划生育特别扶助金申领等），我们还是建议尽快行动，并尽量利用现有的便利措施来简化流程。希望这些信息能够对您有所帮助，祝您和家人一切顺利！