针对您提出的问题“判决书中出现伪证由谁追究其刑事责任”，我给出以下详细解答：

结论：在判决书中出现伪证的情况下，通常由公安机关负责立案侦查，并由检察机关提起公诉，最终由法院依法追究伪证者的刑事责任。

分析说明：

1. 伪证罪的定义与主体：

   • 伪证罪是指在刑事诉讼中，证人、鉴定人、记录人、翻译人对与案件有重要关系的情节，故意作虚假证明、鉴定、记录、翻译，意图陷害他人或者隐匿罪证的行为。
   • 因此，伪证罪的主体特定为证人、鉴定人、记录人、翻译人。

2. 伪证罪的追究程序：

   • 公安机关立案侦查：当发现有人涉嫌犯伪证罪时，公安机关会依法立案并进行侦查，收集相关证据。
   • 检察机关提起公诉：公安机关侦查终结后，会将案件移送检察机关审查起诉。检察机关认为证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，会向人民法院提起公诉。
   • 法院依法审判：法院受理案件后，会依法进行审判，对被告人是否构成伪证罪作出判决。

3. 特殊情况下的处理：

   • 如果在审判过程中发现新的伪证事实，法院可以依职权或者根据当事人的申请进行调查核实，并根据调查结果作出相应处理。
   • 如果伪证行为是在诉讼过程中发现的，且情节严重，法院也可以直接依法追究相关人员的刑事责任。

综上所述，判决书中出现伪证时，应由公安机关立案侦查，检察机关提起公诉，最终由法院依法追究伪证者的刑事责任。如果您在刑事诉讼过程中遇到了伪证问题，可以及时向公安机关报案或者向法院反映情况，以维护诉讼的公正性和合法性。