在行政诉讼中，当第三人提起上诉时，诉讼主体的确定主要依据《中华人民共和国行政诉讼法》及其相关司法解释的规定。以下是对这一问题的详细解答：

一、行政诉讼第三人的基本确定规则

根据《中华人民共和国行政诉讼法》第二十九条，公民、法人或者其他组织若与被诉行政行为存在利害关系但未提起诉讼，或者与案件的处理结果有利害关系，均可以作为第三人申请参加诉讼，或由人民法院通知其参加诉讼。这里的“利害关系”指的是与行政行为的作出、内容、执行等方面的直接或间接关联，以及可能因行政行为而受到的权益影响。

二、行政诉讼第三人的特征

1. 行政相对人：第三人通常是原告、被告之外的行政相对人。
2. 利害关系：第三人与被诉的具体行政行为有利害关系。
3. 参诉时间：第三人参加诉讼必须是在诉讼开始之后和审结之前。
4. 参诉方式：第三人可以通过主动申请或由人民法院通知的方式参加诉讼。

三、第三人提起上诉的诉讼主体确定

1. 上诉权利：根据法律规定，若法院判决第三人承担义务或减损其权益，第三人有权依法提起上诉。此时，第三人成为上诉的主体。
2. 诉讼地位：在上诉程序中，第三人的诉讼地位与原告、被告类似，享有提出与本案有关的诉讼主张的权利，以及对人民法院的一审判决不服提起上诉的权利。
3. 具体确定：
   • 当第三人因法院判决承担义务或权益受损而提起上诉时，其作为上诉人的身份是明确的。
   • 在上诉过程中，原被告的诉讼地位不变，第三人作为上诉人参与诉讼。
   • 如果上诉涉及多个利害关系人，且这些利害关系人之间也存在权益争议，人民法院可能会根据具体情况通知其他利害关系人作为第三人参与上诉程序。

四、实际操作中的考虑因素

在实际操作中，确定行政诉讼第三人需要综合考虑多个因素，包括但不限于与行政行为的利害关系、案件处理结果的影响等。法院在审理过程中会仔细审查这些因素，以确保第三人的合法权益得到充分保障。

综上所述，行政诉讼中第三人提起上诉的诉讼主体确定主要依据其与被诉行政行为的利害关系以及法院判决对其权益的影响。第三人作为上诉人参与诉讼，享有与原告、被告类似的诉讼权利，并应依法行使这些权利以维护自己的合法权益。