当您的银行卡被司法冻结后，通常情况下，您是有可能去办理其他银行的银行业务的，包括申请新的银行卡。但这一过程中确实存在一些需要注意的因素和潜在的限制。

首先，银行在为您办理新卡时，会基于您的身份信息核实以及是否符合开户条件来进行判断。只要您满足这些基本条件，理论上即使有一张卡被司法冻结，您依然能够申请新的银行卡。然而，如果司法冻结涉及严重的经济犯罪、违法违规等重大案件，司法机关可能会通知银行对相关人员采取更严格的监控措施，这可能包括限制您新开账户。

其次，银行出于风险防控的考虑，若发现您因已有银行卡被司法冻结而存在较高风险，也可能会更加谨慎地审核您的开户申请，甚至在某些情况下拒绝为您办理新卡。此外，对于被纳入失信被执行人名单的个人，虽然法律上并未明确禁止其办理新银行卡，但在实际操作中，金融机构可能会进行更为严格的审查，这可能导致开户过程变得复杂，或者需要您提供更多额外的证明材料。

最后，值得注意的是，即使您成功办理了新的银行卡，如果原冻结的银行卡涉及的案件或纠纷未得到解决，新卡也存在被再次冻结的风险。因此，在办理新卡之前，建议您先了解清楚相关的法律规定和银行政策，并积极配合解决任何法律纠纷或执行程序。

综上所述，虽然司法冻结一张银行卡后通常可以办理其他银行卡，但具体能否成功办理还需考虑多种因素。在实际操作中，建议您先咨询相关银行以获取最准确的信息，并根据自身情况做出合理的决策。如遇复杂情况或需要法律帮助，请务必咨询专业律师以保护自己的合法权益。