卖淫初次被抓拘留后，通常不会留下案底。下面我详细解释一下这个问题：

1. 案底的定义：

   • 案底通常指的是刑事犯罪记录，即某人因犯罪行为被法院判决后留下的档案记录。
   • 卖淫行为属于违反《中华人民共和国治安管理处罚法》的行政违法行为，而非犯罪行为。

2. 拘留的性质：

   • 因卖淫被抓，通常会受到行政拘留的处罚。
   • 行政拘留不属于刑事犯罪记录，而是对行政违法行为的处罚措施。

3. 拘留后的记录：

   • 虽然行政拘留不会在个人档案中留下刑事犯罪记录，但会在公安机关的治安部门留下相关违法记录。
   • 这种记录对个人今后在一些特殊领域，如部分行业的入职背景审查，可能产生一定影响。

4. 具体拘留时间：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条，卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。

综上所述，卖淫初次被抓后，虽然会受到行政拘留的处罚，并留下相关违法记录，但这并不等同于刑事犯罪记录，即通常所说的“案底”。因此，从严格意义上讲，卖淫初次被抓拘留后，不会留下案底。但请务必注意，违法记录依然会对个人产生一定影响，建议遵守法律法规，维护自身名誉与社会公序良俗。