失业保险金停止领取的时机主要取决于失业人员在领取期间的具体情况。根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，失业人员在领取失业保险金期间，若发生以下任一情形，将停止领取失业保险金并同时停止享受其他失业保险待遇：
重新就业：这是最常见的停止领取情形。当失业人员找到新的工作并重新就业时，即视为不再符合领取失业保险金的条件。需要注意的是，这里的“重新就业”是以用人单位是否为其缴纳社会保险费为标准来确定的。如果失业人员在打零工或从事其他灵活就业形式期间，没有新的用人单位为其参加社会保险，那么他们仍然可以继续领取失业保险金。
应征服兵役：失业人员如果应征服兵役，也将停止领取失业保险金。
移居境外：对于移居境外的失业人员，同样会停止发放失业保险金。
享受基本养老保险待遇：当失业人员开始享受基本养老保险待遇时，也将不再符合领取失业保险金的条件。
拒不接受适当工作或培训：如果失业人员无正当理由拒不接受当地人民政府指定部门或者机构介绍的适当工作或者提供的培训，那么他们的失业保险金也将被停止发放。
在停止领取失业保险金后，如果失业人员再次失业且符合领取条件，他们可以再次申领失业保险金。但需要注意的是，单次领取失业保险金的期限最长不超过24个月，且重新就业后再次失业的，缴费时间需要重新计算。
总之，失业保险金的停止领取与失业人员的具体情况密切相关。在领取期间，如果失业人员的情况发生变化，如重新就业、应征服兵役、移居境外等，都需要及时告知相关部门，以便停止领取失业保险金并享受相应的待遇。