在案件调查阶段，如果一名证人向另一名证人打探内情，被打探的证人应当采取以下措施来妥善处理这种情况：

首先，被打探的证人应明确拒绝透露任何与案件相关的信息。这是因为案件调查阶段的信息往往涉及法律程序和司法公正，任何非授权的泄露都可能对案件产生不良影响，甚至可能触犯法律。证人应坚守职业道德和法律法规，保护案件的机密性。

其次，如果打探内情的证人持续纠缠或试图通过不正当手段获取案件信息，被打探的证人应及时向相关司法机关或调查人员报告这一情况。这样不仅可以保护自己的合法权益，还能防止案件信息被非法获取或滥用，从而维护司法程序的公正性和独立性。

此外，被打探的证人还可以寻求法律援助或咨询专业律师，以了解自己在这种情况下的法律义务和权益。律师可以提供专业的法律建议，帮助证人更好地应对这种复杂的法律情境。

总之，面对打探内情的情况，被打探的证人应保持警惕，坚守职业道德和法律法规，拒绝透露案件信息，并及时向相关机关报告任何不当行为。这是保护司法程序公正性和独立性、维护自己合法权益的重要举措。