认证机构主要归国家市场监督管理总局下的认证监督管理司管理。

在2018年的党和国家机构改革中，为了完善市场监管体制和推动质量强国战略，国家组建了国家市场监督管理总局，并整合了多个相关部门的职责，其中包括原国家质量监督检验检疫总局的职责。国家认证认可监督管理委员会（简称“国家认监委”）的职责因此被划入国家市场监督管理总局，并对外保留牌子。然而，其具体的业务职能则由认证监督管理司和认可与检验检测监督管理司来承担。

其中，认证监督管理司主要负责拟订实施认证和合格评定监督管理制度，规划指导认证行业发展，并协助查处认证违法行为。这意味着认证机构的活动、行为规范以及信息公开等工作都受到该司的监管和指导。

因此，对于认证机构归哪个部门管的问题，可以明确地说，它们主要受国家市场监督管理总局下的认证监督管理司的监管和管理。