当遇到法官承办案件但不执行的情况时，您可以采取以下措施来维护自己的权益：

一、提出复议申请

首先，您可以向作出执行裁定的法院提出复议申请。在申请中，您需要清晰阐述执行中存在的问题及缘由，促使法院重新审视其执行行为。这一步骤是希望通过内部机制来纠正可能的执行不当或疏忽。

二、申请执行监督

如果复议申请未能得到满意的结果，您可以向上一级法院申请执行监督。上级法院会对下级法院的执行状况进行监督和指导，以确保执行的合法性和合规性。这一步骤能够为您提供更高层次的法律保障。

三、提供财产线索

同时，为了推动执行工作的顺利进行，您应积极查询被执行人的财产情况，并为执行法院提供有效的财产线索。这有助于法院更快地找到被执行人的财产，从而加速执行进程。

四、举报违法情形

如果您发现执行法院存在消极执行、不作为等违法情形，您可以向纪检监察部门举报。纪检监察部门将对相关人员进行调查和处理，以维护法律的严肃性和公正性。

五、申请参与分配被执行人财产

此外，您还可以依法申请参与分配被执行人的财产。在被执行人的财产不足以清偿全部债务的情况下，您可以按照法律规定申请参与分配，以保障自身债权的实现。

六、其他救济途径

1. 向上级法院申请提级执行：根据《民事诉讼法》的规定，如果人民法院自收到申请执行书之日起超过六个月未执行，您可以向上一级人民法院申请执行。上一级人民法院经审查后，可以责令原人民法院在一定期限内执行，也可以决定由本院执行或者指令其他人民法院执行。
2. 向人民检察院申请检察监督：您还可以向人民检察院申请对法院的执行活动进行监督。检察院有权对法院的执行行为进行审查，如果发现违法情形，可以提出检察建议或抗诉。

综上所述，当遇到法官承办案件但不执行的情况时，您可以通过提出复议申请、申请执行监督、提供财产线索、举报违法情形、申请参与分配被执行人财产以及利用其他救济途径来维护自己的权益。请务必保持冷静和理性，依法依规进行维权。