独生子女证是父母双方共同持有一本，而不是父母各自一本。在国家提倡一对夫妻只生育一个子女期间（2015年12月31日前），夫妻自愿终身只生育一个子女的，可以申领《独生子女父母光荣证》。这个证件是由夫妻双方共同申请的，提交相关材料后，由乡（镇）人民政府或者街道办事处审核并发放。

具体来说，办理《独生子女父母光荣证》需要满足一定的条件，如夫妻双方或一方户籍在本省，只生育一个子女且自愿终身不再生育等。在申请时，需要夫妻双方共同提交身份证、户口簿、结婚证、婚育情况承诺书以及子女的出生医学证明（或收养证）等材料。

审核通过后，夫妻双方会共同获得一本《独生子女父母光荣证》，该证件证明了他们自愿终身只生育一个子女，并享受由此带来的相关权益和优惠。因此，独生子女证是父母双方共同持有的，而不是各自持有一本。