独生子女当兵后，其父母可以享受的待遇主要涉及到假期和可能的经济补助，具体根据国家的政策法规以及地方的具体实施情况而定。以下是一些主要的待遇：

一、独生子女父母护理假

根据相关政策，独生子女的父母在其年满60周岁后，如果独生子女在军队服役，那么军队人员可以享受独生子女父母护理假。这个假期每年为5天，不能跨年休，且必须满足两个条件：一是军队人员系独生子女，二是其父母之一已经年满60周岁。这个假期的目的是为了让独生子女有更多的时间陪伴和照顾年迈的父母。

二、探亲假

对于与父母（含配偶父母）不在一地生活的已婚军人，每年可以享受20天的探亲假。如果与父母、配偶均不在一地生活，则每年可以享受45天的探亲假。这一假期为军人提供了与家人团聚的机会，体现了国家对军人家庭生活的关怀。

三、其他可能的待遇

除了上述明确的假期外，独生子女当兵后，其父母还可能享受到一些地方性的优待政策或经济补助。这些政策或补助的具体内容和标准可能因地区而异，通常与当地的经济社会发展水平、人口政策以及政府对军人家庭的关怀程度有关。例如，一些地区可能会为独生子女父母提供养老保险补贴、医疗保险优惠或独生子女保健费等。

四、注意事项

1. 了解政策：由于待遇政策可能因地区和时间的不同而有所变化，建议独生子女父母及时了解当地的最新政策信息。
2. 保留相关证明：为了享受相关待遇，可能需要提供独生子女证明、军人身份证明以及父母的身份证明等。因此，建议妥善保管好这些相关证明文件。
3. 咨询相关部门：如果有任何疑问或需要进一步的帮助，可以向当地的卫健委、退役军人事务部门或军队相关部门咨询。

综上所述，独生子女当兵后，其父母可以享受的待遇主要包括独生子女父母护理假、探亲假以及可能的地方性优待政策或经济补助。这些待遇体现了国家对军人家庭的关怀和支持。