涉嫌开设赌场罪的犯罪嫌疑人或被告人在刑事诉讼的各个阶段，包括侦查阶段、审查起诉阶段以及审判阶段，只要符合取保候审的条件，都有机会申请取保候审。取保候审的决定是由公安机关、人民检察院、人民法院根据案件的实际情况和法律规定来作出的。

首先，我们需要明确取保候审的适用条件。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，这些条件包括：可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性；以及羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的情况。

在涉嫌开设赌场罪的情况下，如果赌场运营时间较短、参赌人数较少、获利金额不大，或者犯罪嫌疑人的个人情况、社会背景等因素表明其不具备再犯的可能性或对社会造成危害的风险，那么就有可能符合取保候审的条件。

具体到各个诉讼阶段，侦查阶段是申请取保候审的黄金时期。因为在这个阶段，公安机关正在收集证据，如果犯罪嫌疑人能够及时提交证明自己符合取保候审条件的材料，如疾病诊断证明、保证金或保证人证明等，公安机关可能会作出取保候审的决定。在这个阶段，拘留期限最长为37天，因此在此期间申请成功的几率相对较大。

在审查起诉阶段和审判阶段，犯罪嫌疑人或被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人同样可以向检察院或法院提出取保候审申请。检察院和法院会全面审查案件，判断是否符合取保候审条件，并据此作出决定。

需要注意的是，取保候审并不意味着案件的终结或无罪。它只是暂时改变了强制措施，案件仍会继续进行。因此，对于面临此类问题的当事人或其家属来说，尽快咨询专业律师以了解相关法律规定和操作流程是非常重要的。

最后，关于“涉嫌开设赌场罪最快什么时候取保”的问题，理论上说，只要符合取保候审的条件，并且及时提交了相关申请材料，最快在当天就有可能办理取保手续并放人。但实际操作中，这取决于案件的具体情况和办案机关的工作效率。因此，无法给出一个确切的时间表。