针对政府拖欠农民工工资的问题，最快速且有效的解决途径是向当地的劳动保障监察部门投诉。以下是详细的分析和建议：
一、劳动保障监察部门投诉
优势与效率：
- 劳动保障监察部门是专门负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规的机构，具有高效、直接的特点。
- 他们有权对用人单位进行调查，对于查证属实的拖欠工资行为，可以依法责令用人单位限期支付，并有权进行行政处罚。
处理流程：
- 农民工需携带身份证件、劳动关系证据（如劳动合同、工作证、工资条等）及拖欠工资的相关证据，到当地劳动保障监察机构进行投诉登记。
- 监察部门将在受理后迅速展开调查，并将处理结果及时反馈给投诉人。
法律依据：
- 根据《劳动保障监察条例》，劳动保障行政部门对用人单位支付劳动者工资的情况实施监察，确保劳动者的合法权益得到保障。
二、其他可能的解决途径
劳动争议调解中心申请调解：
- 如果农民工希望以更和谐的方式解决问题，可以向劳动争议调解中心申请调解。
- 调解中心将安排专业调解员与双方沟通，了解具体情况并组织调解。若双方达成一致，将签订调解协议，用人单位按协议支付工资。
建设领域清欠办公室（针对建筑行业）：
- 由于建筑行业拖欠工资问题较为突出，建设领域清欠办公室专门负责解决该领域的工资拖欠问题。
- 农民工可向当地清欠办反映情况，提供工程项目名称、施工单位等信息。清欠办将对项目进行深入调查，并协调相关方快速解决工资拖欠问题。
法律援助机构帮助：
- 如果农民工经济困难无力聘请律师，可以寻求法律援助机构的帮助。
- 法律援助机构将指派专业律师为其提供法律服务，包括代理仲裁、诉讼等，确保农民工的合法权益得到有效维护。
报警与工会协助：
- 在极端情况下，如雇主恶意拖欠工资或逃逸，农民工可选择报警。虽然这不是处理劳动纠纷的常规方式，但在某些紧急情况下可能有效。
- 如果农民工加入了工会，可以寻求工会的帮助。工会有责任代表会员争取权益，包括追讨工资。
三、重要提示
- 收集证据：在采取任何行动之前，农民工应尽可能收集所有相关证据，包括工作合同、工时记录、工资条以及与雇主的沟通记录等。这些证据将有助于相关部门更快地了解问题，并作出有利于农民工的裁决。
- 及时行动：一旦发现工资被拖欠，农民工应尽快采取行动，避免拖延导致问题复杂化。
- 保持沟通：在维权过程中，农民工应保持与相关部门的沟通，及时了解处理进度和结果。
总结来说，向劳动保障监察部门投诉是解决政府拖欠农民工工资问题的最快速且有效的途径。同时，农民工也可以根据自身情况和实际需要选择其他合适的途径来维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。