结论：当农民工遭遇工资拖欠问题时，为了最快解决问题，首选途径是向当地的劳动保障监察部门投诉，同时也可以考虑向劳动争议调解组织申请调解、联系建设领域清欠办公室（针对建筑行业）、寻求法律援助机构的帮助或提起诉讼等多种途径。
一、首选途径：向劳动保障监察部门投诉
- 特点与优势：劳动保障监察部门是专门负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规的行政机构，具有直接调查和处理权，处理程序简便快捷。他们有权对用人单位进行调查，对于查证属实的拖欠工资行为，可以依法责令用人单位限期支付，并有权进行行政处罚。
- 处理流程：
- 投诉登记：农民工需携带身份证件、劳动关系证据（如劳动合同、工作证、工资条等）及拖欠工资的相关证据，到当地劳动保障监察机构进行投诉登记。
- 调查核实：劳动保障监察部门将在规定时间内对投诉事项进行调查，包括进入用人单位检查、查阅相关资料和询问有关人员。
- 处理措施：若查实存在拖欠工资行为，将责令用人单位限期支付；逾期不支付的，还将加付赔偿金。
二、灵活高效的调解方式：向劳动争议调解组织申请调解
- 特点：劳动争议调解组织以调解为主，程序灵活高效，有助于双方快速达成和解协议，解决工资纠纷。
- 处理流程：
- 提出申请：农民工可向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或乡镇、街道设立的劳动争议调解组织提出调解申请。
- 调解过程：调解组织将安排专业调解员与双方沟通，了解具体情况并组织调解。
- 达成协议：若双方达成一致，将签订调解协议，用人单位按协议支付工资。
三、针对建筑行业的特殊途径：联系建设领域清欠办公室
- 适用对象：特别适用于建筑行业农民工的工资拖欠问题。
- 处理流程：
- 反映情况：农民工可向当地建设部门提供工程项目名称、建设单位、施工单位等信息，反映拖欠工资情况。
- 调查与处理：建设部门将对工程项目进行调查，检查工程款支付和工资支付制度落实情况，并责令相关单位限期整改或采取行政处罚等措施。
四、法律援助与诉讼途径
- 法律援助：对于经济困难的农民工，法律援助机构可提供免费的法律咨询和代理服务，帮助他们制定维权方案并通过法律途径解决问题。
- 提起诉讼：若以上途径均无法解决问题，农民工可考虑向法院提起诉讼。在提起诉讼前，务必咨询专业律师（即向我咨询）并准备好充分证据材料来支持主张。若手中持有欠条等凭证，农民工还可直接向法院申请支付令，要求用人单位支付拖欠工资。
五、其他辅助途径
- 报警：在极端情况下，如雇主恶意拖欠工资或逃逸，农民工可选择报警。虽然这不是处理劳动纠纷的常规方式，但在某些紧急情况下可能有效。
- 工会协助：如果农民工加入了工会，可以寻求工会的帮助。工会有责任代表会员争取权益，包括追讨工资。
重要提示：在采取任何行动之前，农民工应尽可能收集所有相关证据，包括工作合同、工时记录、工资条以及与雇主的沟通记录等。这些证据将有助于相关部门更快地了解问题，并作出有利于农民工的裁决。
最后建议：农民工在遭遇工资拖欠问题时，应根据自身情况和实际需要选择合适的途径来维护自己的合法权益。同时，也要积极寻求法律援助和工会等组织的帮助，以确保自己的权益得到有效保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。