劳务派遣公司员工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，并承担由此产生的工伤保险责任。当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。
- 若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴等。
法定义务：
- 劳务派遣单位需履行用人单位对劳动者的所有义务，包括保障员工工作安全。在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。例如，用工单位未提供安全工作环境或违规指挥导致员工受伤的，需与劳务派遣单位共同承担赔偿责任。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任。
三、具体情形下的责任划分
正常履行工作职责受伤：
- 在这种情况下，责任主要由劳务派遣单位承担。劳务派遣单位应为员工申请工伤认定，并支付相应的工伤保险待遇。
用工单位存在过错导致受伤：
- 若员工受伤是由于用工单位的过错导致的，如设备故障未及时维修、违规指挥等，则用工单位需与劳务派遣单位共同承担赔偿责任。具体责任比例可根据过错程度进行划分。
第三方侵权导致受伤：
- 如果员工受伤是由于第三方侵权导致的，如交通事故、他人故意伤害等，员工可以要求第三方承担赔偿责任。同时，劳务派遣单位仍需承担工伤保险责任，为员工支付医疗费、停工留薪期工资等费用。
四、争议解决途径
协商调解：
- 优先通过三方协商或工会介入解决争议。这有助于快速、低成本地解决纠纷，维护劳动者的合法权益。
劳动仲裁：
- 若协商不成，员工可以向劳动合同履行地或劳务派遣单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，员工需要提供相关证据支持自己的诉求。
诉讼维权：
- 对仲裁结果不服的，员工可以向人民法院提起诉讼。法院将根据法律和事实作出判决，维护劳动者的合法权益。
五、建议与注意事项
及时申请工伤认定：
- 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。这有助于员工及时享受工伤保险待遇。
保留相关证据：
- 员工在受伤后应保留相关证据，如医疗记录、事故现场照片、证人证言等。这些证据在后续的工伤认定和赔偿申请中至关重要。
了解自身权益：
- 劳务派遣员工应了解自己的合法权益，包括工伤保险待遇、劳动保护条件等。在受伤后，应积极主张自己的权益，确保得到应有的赔偿和待遇。
综上所述，劳务派遣公司员工受伤时，责任的承担需综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，两者可能需共同承担责任。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。