结论前置：当事人申请不予执行仲裁裁决，应当在执行程序开始后，执行完毕之前的十五日内提出，特殊情况下需自知道或应当知道相关事实之日起十五日内提出，且若已申请撤销仲裁裁决并被受理，则自驳回撤销申请的裁判文书生效之日起重新计算期限。

详细分析：

一、一般情况下的申请期限

根据《最高人民法院关于人民法院办理仲裁裁决执行案件若干问题的规定》第八条，被执行人向人民法院申请不予执行仲裁裁决的，应当在执行通知书送达之日起十五日内提出书面申请。这一规定明确了申请不予执行的一般期限，即执行程序开始后，执行完毕之前的十五日内。

举例说明：假设仲裁裁决于2024年1月1日生效，执行通知书于2024年1月5日送达被执行人，那么被执行人应在2024年1月20日之前（含1月20日）向人民法院提出不予执行仲裁裁决的书面申请。

二、特殊情况下的申请期限

若裁决所根据的证据是伪造的，或者仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为，且执行程序尚未终结的，被执行人应当自知道或者应当知道有关事实或案件之日起十五日内提出书面申请。此外，如果在前述期限届满前，被执行人已向有管辖权的人民法院申请撤销仲裁裁决且已被受理，那么自人民法院驳回撤销仲裁裁决申请的裁判文书生效之日起，将重新计算申请不予执行的期限。

举例说明：假设被执行人在2024年2月1日发现仲裁员存在枉法裁决行为，且执行程序尚未终结，那么被执行人应在2024年2月16日之前（含2月16日）向人民法院提出不予执行仲裁裁决的书面申请。若被执行人在此之前已向有管辖权的人民法院申请撤销仲裁裁决，且该申请已被受理，那么自人民法院驳回撤销仲裁裁决申请的裁判文书生效之日起，被执行人将重新获得十五日的申请期限。

三、申请不予执行仲裁裁决的重要性

严格遵守申请不予执行的期限是法律程序的要求，也是当事人维护自身权益的重要保障。若未在规定期限内提出申请，且不存在时效中止、中断的法定事由，仲裁裁决将具有确定的法律效力，当事人必须履行裁决所确定的义务。因此，当事人应充分了解并遵守相关法律程序和时限，以确保自身权益得到有效维护。

四、不予执行仲裁裁决的情形

除了上述关于申请期限的规定外，当事人还应了解不予执行仲裁裁决的具体情形。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，被申请人提出证据证明仲裁裁决存在以下情形之一的，经人民法院组成合议庭审查核实，可以裁定不予执行：

1. 当事人在合同中没有订立仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的；
2. 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的；
3. 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的；
4. 认定事实的主要证据不足的；
5. 适用法律确有错误的；
6. 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的；
7. 涉外仲裁中，被申请执行人没有得到指定仲裁员或者进行仲裁程序的通知，或者由于其他不属于被申请人负责的原因未能陈述意见的；
8. 涉外仲裁中，仲裁庭的组成或者仲裁的程序与仲裁规则不符的；
9. 人民法院认定执行该裁决违背社会公共利益的。

总结：申请不予执行仲裁裁决是一项重要的法律权利，但必须在规定的期限内行使。当事人应充分了解并遵守相关法律程序和时限，同时仔细审查仲裁裁决是否存在不予执行的情形，以确保自身权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。