农民工讨工资最有效的解决部门是当地劳动保障监察机构，同时也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向法院提起诉讼。以下是具体分析：

1. 劳动保障监察机构
   这是农民工讨薪的首选部门，属于劳动行政部门的执法机构。根据《劳动保障监察条例》，劳动保障监察机构有权对用人单位的工资支付情况进行监督检查，对拖欠工资的违法行为责令限期支付，并可加付赔偿金。优势在于处理周期短（通常60个工作日内办结）、执法力度强，且不收取费用。农民工需携带身份证、劳动合同、工资条、考勤记录等证据材料，向用人单位所在地的劳动保障监察大队投诉。

2. 劳动争议仲裁委员会
   若农民工与用人单位存在劳动关系争议（如未签劳动合同、工资数额争议等），可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。根据《劳动争议调解仲裁法》，仲裁裁决具有法律效力，用人单位不履行的可申请法院强制执行。注意：仲裁需在争议发生后1年内提出，且需提交仲裁申请书、证据材料等，流程相对复杂但结果具有强制力。

3. 人民法院
   若对仲裁结果不服或用人单位拒不执行仲裁裁决，可直接向法院提起民事诉讼。对于追索劳动报酬的案件，法院可依法先予执行（即无需等待判决即可强制用人单位支付工资）。特别提示：若用人单位恶意拖欠工资，可能涉嫌拒不支付劳动报酬罪，农民工可向公安机关报案，追究其刑事责任。

建议行动步骤：

1. 优先向当地劳动保障监察机构投诉（可通过拨打12333热线查询具体地址）；
   
2. 若涉及劳动关系争议，同步准备仲裁材料；
   
3. 保留好所有证据原件，避免用人单位销毁或篡改。
   

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