开车撞死小狗后逃跑，在某些情况下会构成肇事逃逸，需承担相应的法律责任；但在某些特定情境下，可能不构成肇事逃逸。具体判定需依据事故的具体情节、驾驶员的主观意图以及事故造成的后果等因素。以下是对此问题的详细分析：

一、可能构成肇事逃逸的情况

1. 狗有主人且驾驶员明知：

   • 当撞死的狗有明确的主人，且驾驶员在事故发生时明知这一行为对他人财产造成了损害，却为了逃避赔偿责任或法律责任而逃离现场，这种行为很可能被认定为肇事逃逸。例如，驾驶员在撞狗后，看到狗主人追赶或听到狗主人的呼喊，却选择加速逃离，这种行为就明显具有逃避法律追究的故意。

2. 造成公共安全危害或重大财产损失：

   • 如果撞狗行为引发了公共安全问题（如交通严重堵塞）或造成了重大财产损失（如连锁碰撞事故），驾驶员逃离现场的行为也构成肇事逃逸。在这种情况下，驾驶员的行为不仅损害了狗主人的财产权益，还对公共安全造成了威胁，因此需要承担更严重的法律责任。

二、一般情况下不构成肇事逃逸的情况

1. 狗无主人且未造成公共危害：

   • 若撞死的狗为流浪狗，且该行为未对公共安全或秩序造成其他危害，通常不被认定为肇事逃逸。因为在此情况下，没有明确的财产所有者受损，且未引发更广泛的法律后果。但需要注意的是，即使狗是流浪狗，驾驶员也应尽量停车查看，确保没有造成其他损害或安全隐患。

2. 驾驶员不知情且无逃避故意：

   • 如果驾驶员在撞狗时确实不知情，例如夜间视线不佳导致未能察觉，且在得知情况后积极与狗主人协商赔偿，因其主观上没有逃避法律追究的故意，故通常不构成肇事逃逸。但驾驶员有义务在行驶过程中保持警惕，确保行车安全，避免类似事故的发生。

3. 特殊情形下的合理处理：

   • 在狗突然闯入道路等意外情况下，如果驾驶员立即停车并采取合理措施处理后续事宜，如尝试寻找狗主人或报警，这种情况下也不宜认定为肇事逃逸。驾驶员在面对突发情况时，应保持冷静，采取合理措施减少损害和风险。

三、法律后果与责任承担

• 民事责任层面：无论是否构成肇事逃逸，驾驶人均需赔偿狗主人的财产损失。具体金额通过协商或司法评估确定。如果驾驶员构成肇事逃逸，保险可能会拒赔，从而加重驾驶员的赔偿责任。

• 行政责任层面：若构成肇事逃逸但尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门可对驾驶员处以二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。逃逸行为将受到更严厉的行政处罚。

• 刑事责任层面：若肇事逃逸行为构成犯罪，如交通肇事罪中的逃逸情节，则可能面临更严重的刑事处罚，如三年以上七年以下有期徒刑等。这取决于事故造成的后果和驾驶员的主观故意程度。

四、建议与指导

• 保持警惕：在开车过程中，驾驶员应时刻保持警惕，遵守交通规则，确保行车安全。避免分心驾驶或超速行驶等危险行为。

• 妥善处理事故：如不幸发生撞狗事故，无论狗是否有主人，驾驶员都应立即停车，保护现场，并及时报警或联系狗主人处理后续事宜。避免因逃避法律追究而逃跑。

• 增强法律意识：驾驶员应增强法律意识，了解肇事逃逸的法律后果和责任承担。在面对交通事故时，应积极配合调查和处理工作，以维护自己的合法权益和避免不必要的法律风险。

综上所述，开车撞死小狗后逃跑是否构成肇事逃逸，需结合具体情况和法律规定来判断。作为驾驶员，应时刻保持法律意识，妥善处理交通事故，以避免不必要的法律风险。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。