结论：因工作发生争执而打架，公司是否开除并需要赔偿，这取决于多个因素，包括公司规章制度的合法性、打架行为的性质与后果，以及解除劳动合同的程序合法性。以下是对此问题的详细分析：
公司规章制度合法且打架行为严重
- 分析：如果公司的规章制度明确规定打架为严重违纪行为，并且这些规定合理、不违背法律法规，同时该规章制度已经过民主程序制定并向员工公示，那么员工打架属于严重违反规章制度。此外，若打架行为导致公司生产经营秩序受到严重影响或造成重大经济损失，公司可以“给用人单位造成重大损害”为由解除劳动合同。在此情况下，公司通常无需支付赔偿金。
- 示例：某公司《员工手册》明确规定“在工作场所内打架斗殴，严重影响工作秩序或造成重大经济损失的，公司有权立即解除劳动合同”，且该《员工手册》已经职工代表大会讨论通过，并发放给每位员工签收确认。若员工在上班期间与同事发生激烈打斗，导致工作区域秩序混乱或公司财产受损，公司可依据《员工手册》开除该员工，无需支付赔偿金。
公司规章制度存在问题或打架情节轻微
- 分析：若公司规章制度未经民主程序制定或未向员工公示，则该制度对员工不具有约束力。公司以此为由解除劳动合同将被视为违法，需支付赔偿金。此外，若打架情节轻微，未造成严重后果，且未达到公司规章制度规定的可以解除合同的程度，公司直接开除员工也将构成违法解除劳动合同，需支付二倍经济补偿标准的赔偿金。
- 赔偿金计算：赔偿金的标准通常按照员工在公司的工作年限来计算，具体为每满一年支付两个月工资（即经济补偿标准的二倍）。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付一个月工资的经济补偿作为赔偿金的一部分。若公司未提前一个月通知员工解除劳动合同，还需支付一个月的代通知金。
解除劳动合同程序违法
- 分析：即使公司规章制度明确且打架行为严重，但在解除劳动合同时若未提前通知员工、未给予申辩机会或未通知工会等，导致程序违法，公司仍需承担赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。
建议：
- 公司方面：为避免纠纷，公司应确保规章制度明确、合理且合法制定和公示；在解除劳动合同时严格遵循法定程序；同时，加强员工培训，提高员工法律意识，减少类似事件的发生。
- 员工方面：员工应了解自身权益，遵守公司规章制度，避免发生打架等违纪行为。若发生争议，应及时收集证据，如监控视频、证人证言等，以维护自身合法权益。同时，员工也有权对公司开除决定提出异议，并通过申请劳动仲裁或提起诉讼等方式来维护自己的权益。
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