劳务派遣的员工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，并承担由此产生的工伤保险责任。当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用。
法定义务：
- 劳务派遣单位需履行用人单位对劳动者的所有义务，包括保障员工工作安全。在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任。
三、责任分担的约定与实际情况
- 劳务派遣单位和用工单位可以在劳务派遣协议中约定工伤事故的责任分担方式，但这种约定仅在双方之间有效，不能对抗受伤员工要求劳务派遣单位承担工伤保险责任的权利。劳务派遣单位在承担责任后，可依据协议约定向用工单位进行追偿。
- 在实际操作中，责任的承担需根据具体情况综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。例如，若劳务派遣单位已依法为劳动者缴纳工伤保险，且用工单位不存在过错，则责任主要由工伤保险基金和劳务派遣单位承担；若用工单位存在过错，则需根据过错程度承担相应的补充赔偿责任。
四、劳务派遣员工的权益保障与维权途径
- 劳务派遣员工享有与用工单位直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件，有权要求用工单位支付加班费、绩效奖金以及与工作岗位相关的福利待遇。在受伤时，劳务派遣员工应首先向劳务派遣单位主张工伤保险待遇，同时可根据实际情况向用工单位主张补充赔偿责任。
- 若各方对责任承担存在争议，可通过协商调解、劳动仲裁或法律诉讼等途径解决。建议劳务派遣员工在受伤后及时收集相关证据（如工伤认定申请表、劳动关系证明材料、医疗机构诊断证明等），以便在维权过程中提供有力支持。
示例说明：假设某劳务派遣员工在用工单位工作时受伤，经查劳务派遣单位已依法为其缴纳工伤保险。在此情况下，医疗费用等工伤待遇由工伤保险基金支付；劳务派遣单位需补发停工留薪期工资。若用工单位存在过错（如提供的安全设施不符合规定），则用工单位需承担相应的补充赔偿责任。
总结与建议：劳务派遣员工受伤时，责任的承担需综合考虑多方面因素。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，建议劳务派遣单位和用工单位在劳务派遣协议中明确约定工伤事故的责任分担方式，并依法履行各自的义务。同时，劳务派遣员工在受伤后应及时主张自己的权益，并通过合法途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。