寻衅滋事罪的追诉期根据可能判处的最高刑罚来确定，具体分为以下两种情况：
若法定最高刑为五年以下有期徒刑、拘役或者管制：
- 根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，法定最高刑为不满五年有期徒刑的，追诉时效期限为五年。因此，对于此类寻衅滋事行为，追诉期为五年。
若法定最高刑为五年以上十年以下有期徒刑：
- 同样依据《中华人民共和国刑法》第八十七条，法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，追诉时效期限为十年。对于纠集他人多次实施寻衅滋事行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，并可以并处罚金，此时追诉期为十年。
关于追诉期的特殊情况，也需特别注意：
- 时效延长：在追诉期限内又犯新罪的，前罪的追诉时效会中断，并从犯新罪之日起重新计算。这意味着，如果犯罪嫌疑人在追诉期内再次犯罪，其之前犯罪的追诉期将重新开始计算。
- 时效中止：在追诉期限内发生不可抗力或其他导致无法行使追诉权的情况，追诉时效会中止。待这些障碍消除后，追诉时效会继续计算。这确保了司法机关在特殊情况下仍有机会对犯罪嫌疑人进行追诉。
- 逃避侦查或审判：根据《中华人民共和国刑法》第八十八条，一旦人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，犯罪嫌疑人逃避侦查或者审判的，将不受追诉期限的限制。这意味着，即使犯罪已经过去多年，只要犯罪嫌疑人试图逃避法律制裁，司法机关仍有权对其进行追诉。
- 被害人控告与司法机关不予立案：同样依据第八十八条，如果被害人在追诉期限内提出控告，而人民法院、人民检察院、公安机关应当立案而不予立案的，也不受追诉期限的限制。这一规定保护了被害人的合法权益，确保了司法公正。
法律建议：
- 对于涉嫌寻衅滋事罪的犯罪嫌疑人或其家属，应密切关注案件的进展和追诉期的变化，以便及时采取相应的法律措施。
- 如果犯罪嫌疑人在追诉期内有逃避侦查或审判的行为，或者司法机关在应当立案的情况下不予立案，应及时向相关部门反映情况，以维护自己的合法权益。
- 在处理相关案件时，应综合考虑法律规定与实际情况，确保法律的正确适用和司法的公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。