在刑事案件中，请愿书的作用相对有限，但在特定情境下可能对案件处理产生一定影响。以下是具体分析：

1. 表达诉求与态度
   请愿书的核心功能是向司法机关（如检察院、法院）传递当事人、家属或社会公众对案件的关切、诉求或态度。例如，家属可能通过请愿书表达对犯罪嫌疑人的谅解、对量刑的请求（如从轻处理），或对案件事实的补充说明。这种书面材料能辅助司法机关更全面地了解案件背景和社会影响。

2. 辅助量刑参考
   在量刑阶段，若请愿书内容涉及犯罪嫌疑人的悔罪表现、社会危害性降低（如积极赔偿、取得谅解）或特殊家庭情况（如需抚养子女、赡养老人），司法机关可能将其作为量刑的参考因素之一。但需注意，请愿书本身不具有强制法律效力，最终量刑仍以法律规定和案件事实为依据。

3. 推动程序进展
   在特定情况下，请愿书可能间接推动案件程序进展。例如，若请愿书引发社会广泛关注，司法机关可能更谨慎地审查案件细节；或在家属请求变更强制措施（如取保候审）时，请愿书可作为补充材料提交，辅助说明必要性。

4. 心理安抚与社会支持
   对当事人或家属而言，撰写请愿书是一种情感宣泄方式，能缓解焦虑情绪；同时，联合签署请愿书可能形成社会支持网络，对当事人产生心理激励作用。

注意事项：

• 请愿书需基于事实，避免夸大或虚假陈述，否则可能影响司法机关对案件的判断；
  
• 法律程序的核心依据是证据和法律，请愿书的作用是辅助性的，不能替代关键证据或法律程序；
  
• 若需提交请愿书，建议提前与律师沟通，确保内容合法、合理且有针对性。

如有具体案件或情境需要进一步分析，可直接向我咨询。