装修农民工遭遇工资拖欠时，可以优先向以下部门求助以快速有效地解决问题：

1. 劳动保障监察机构

   • 职责与优势：劳动保障监察机构是专门负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的部门。他们有权对拖欠工资等违法行为进行查处，并责令用人单位限期支付工资。如果用人单位逾期不支付，还可以加付赔偿金。这是最直接且快速的解决方式。
   • 维权方式：农民工应直接到用工所在地的劳动保障监察机构投诉，可以拨打人社服务热线12333，或者前往现场投诉。投诉时，需填写投诉表格，详细说明被拖欠工资的情况，并提交相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等。

2. 劳动争议仲裁委员会

   • 职责与优势：劳动争议仲裁委员会负责处理劳动争议案件，其裁决具有法律效力。如果用人单位不履行仲裁裁决，农民工可以向法院申请强制执行。劳动仲裁不收费，且程序规范，有时间限制，一般从受理申请之日起45日内结束，复杂案件可延长15日。
   • 维权方式：农民工需要准备仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明材料及工资拖欠的证据，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提出申请。仲裁委员会会安排开庭审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。

3. 当地政府设立的清欠办（针对建筑行业）

   • 职责与优势：在建筑行业，清欠办由政府相关部门联合组成，专门解决拖欠农民工工资等问题。他们具有协调各方资源、统筹处理复杂问题的能力，处理效率较高。
   • 维权方式：装修农民工可以向项目所在地的清欠办反映情况，清欠办会要求相关责任主体说明情况，并督促各方解决工资问题。可以通过当地政府公布的清欠举报电话、政务服务平台等渠道进行投诉。

4. 人民法院

   • 处理方式：若对仲裁结果不满意或用人单位不履行仲裁裁决，农民工可以向人民法院提起诉讼。此外，对于符合条件的拖欠工资案件，农民工还可以向法院申请支付令。法院审查后符合条件者，会在15日内向用人单位发出支付令。用人单位在规定时间内既不提出异议又不履行支付令的，农民工可申请强制执行。
   • 操作流程：申请支付令需提交书面申请，写明请求给付金钱的数量、所根据的事实和证据。进入普通诉讼程序则需提交起诉状、相关证据，并按照法院的程序参加庭审等环节。

5. 其他辅助部门

   • 司法部门：提供法律咨询和援助，帮助农民工了解权益和维权途径。可以拨打热线电话12348进行咨询。
   • 工会组织：协助农民工与用人单位协商解决问题，保护工人权益。可以拨打热线电话12351寻求帮助。

综合建议：

• 在实际操作中，农民工可以同时向多个部门反映情况以加快问题解决进程。例如，可以先向劳动保障监察机构投诉，同时准备仲裁申请材料，以防需要进一步通过法律途径解决。
• 在维权过程中，应积极收集和保留相关证据材料，如劳动合同、工资条、考勤记录、银行流水等，以便更好地维护自己的合法权益。
• 了解各部门的处理特点和优势，选择最适合自己的维权途径。例如，如果希望快速解决且证据充分，可以选择向劳动保障监察机构投诉；如果希望获得具有法律效力的裁决，可以选择向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

法律依据：

• 《保障农民工工资支付条例》第十条：被拖欠工资的农民工有权依法投诉，或者申请劳动争议调解仲裁和提起诉讼。任何单位和个人对拖欠农民工工资的行为，有权向人力资源社会保障行政部门或者其他有关部门举报。

希望以上建议能帮助装修农民工快速有效地解决工资拖欠问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。