在律师申请精神病鉴定的情况下，最终决定是否进行鉴定以及由谁来决定，主要取决于案件所处的阶段和相关的法律规定，具体分析如下：
侦查阶段：
- 在刑事案件的侦查阶段，如果律师认为犯罪嫌疑人可能患有精神病，需要申请精神病鉴定，那么这一申请通常会提交给侦查机关（如公安局）。
- 侦查机关在收到申请后，会进行审查，并决定是否同意进行鉴定。如果侦查机关认为有必要，会委托有资质的鉴定机构进行精神病鉴定。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，侦查机关有权决定是否进行鉴定，并负责委托鉴定机构。
审查起诉阶段：
- 如果案件进入审查起诉阶段，律师仍然可以申请精神病鉴定。此时，申请应提交给检察院。
- 检察院在收到申请后，会进行审查，并考虑是否同意进行鉴定。检察院有权决定是否委托鉴定机构进行精神病鉴定，或者要求侦查机关补充鉴定。
- 关键点：在审查起诉阶段，检察院对是否进行精神病鉴定具有决定权，但也会综合考虑案件情况、律师申请的理由以及鉴定必要性等因素。
审判阶段：
- 如果案件进入审判阶段，律师申请精神病鉴定的申请应提交给法院。
- 法院在收到申请后，会进行审查，并决定是否同意进行鉴定。法院有权委托有资质的鉴定机构进行精神病鉴定，并会根据鉴定结果作出相应的判决。
- 特殊情况：在审判阶段，如果法院认为有必要，也可以依职权主动决定进行精神病鉴定。
额外建议与说明：
- 律师的角色：在整个过程中，律师的作用是提出申请、提供相关证据和理由，以支持其关于犯罪嫌疑人可能患有精神病的观点。然而，最终的决定权在于侦查机关、检察院或法院。
- 鉴定机构的资质：无论在哪个阶段进行精神病鉴定，都必须委托有资质的鉴定机构进行。这些机构通常具备专业的鉴定人员和设备，能够确保鉴定的准确性和可靠性。
- 法律后果：如果鉴定结果显示犯罪嫌疑人确实患有精神病，且该精神病与其所犯罪行有直接关联，那么这可能会影响案件的判决结果。例如，犯罪嫌疑人可能会被认定为无刑事责任能力或限制刑事责任能力，从而面临不同的法律后果。
总结来说，律师申请精神病鉴定时，决定是否进行鉴定以及由谁来决定的权力，主要取决于案件所处的阶段。在侦查阶段由侦查机关决定，审查起诉阶段由检察院决定，审判阶段则由法院决定。如果您在处理相关案件时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。