教师请长假的审批部门需根据请假类型、教师身份及所在单位性质综合判断，具体如下：
公立学校教师
- 病假/事假：通常由学校内部审批流程决定。一般需先向所在年级组或部门提交书面申请，经教务处、人事处审核后，报校长办公会或校务委员会批准。
- 产假/陪产假：根据《女职工劳动保护特别规定》及地方性法规，需向学校提交医疗机构出具的证明，由学校人事部门审核后报上级教育主管部门备案（如区/县教育局）。
- 公派留学/进修：需经学校、上级教育主管部门（如市/省教育厅）逐级审批，最终由省级教育行政部门或国家留学基金委批准。
私立学校教师
- 常规请假：由学校内部管理制度决定，通常需向直属领导（如年级主任、教务主任）提交申请，经校长批准即可。
- 长期病假/停薪留职：需根据劳动合同或学校规章制度，可能涉及学校董事会或举办者审批，并需符合《劳动合同法》中关于医疗期、解除合同等规定。
特殊情形
- 涉及编制调整：如请假导致岗位空缺需招录替代人员，可能需报同级编制管理部门（如编办）审批。
- 跨地区流动：如教师申请到外省支教或交流，需经双方学校、教育主管部门及人社部门联合审批。
关键依据：
- 《事业单位人事管理条例》（公立学校适用）第31条：事业单位工作人员请假需按权限批准。
- 《劳动合同法》第40条：劳动者患病或非因工负伤，在医疗期内用人单位不得解除合同。
- 地方性教育法规（如《XX省中小学教师管理规定》）可能对请假流程有细化规定。
建议：
- 优先查阅所在学校《教职工请假管理办法》或《劳动合同》中关于请假审批权限的条款。
- 若涉及跨部门审批（如教育主管部门、人社部门），可要求学校人事部门提供书面指引。
- 如遇审批被拒，可依据《教师法》第7条（教师享有“按时获取工资报酬，享受国家规定的福利待遇以及寒暑假期的带薪休假”权利）主张合法权益。
如有具体请假类型或学校性质需进一步分析，可直接向我说明细节。