工厂不可以随便开除派遣工。以下从几个方面为你详细解释：
一、派遣工与工厂的法律关系
派遣工，即劳务派遣工，他们与劳务派遣公司签订劳动合同，被派遣到工厂等用工单位工作。根据《劳动合同法》的相关规定，劳务派遣工与劳务派遣公司之间存在劳动关系，而与用工单位（即工厂）之间则不存在直接的劳动关系。但这并不意味着工厂可以随意开除派遣工，因为工厂作为用工单位，对派遣工负有一定的管理责任，且其管理行为需受到法律的约束。
二、工厂开除派遣工的合法条件
工厂若要开除派遣工，必须满足以下合法条件之一：
派遣工存在严重违反工厂规章制度的行为：如果派遣工严重违反了工厂的规章制度，且该规章制度是合法、合理且经过公示的，工厂可以依据规章制度对派遣工进行处理，包括开除。但在此过程中，工厂需确保处理程序的合法性和公正性，避免侵犯派遣工的合法权益。
派遣工存在严重失职、营私舞弊等行为，给工厂造成重大损害：如果派遣工在工作中存在严重失职、营私舞弊等行为，且这些行为给工厂造成了重大损害，工厂有权依据法律规定和劳动合同约定对派遣工进行处理，包括开除。但同样，工厂需确保处理程序的合法性和证据的充分性。
派遣工被依法追究刑事责任：如果派遣工因犯罪行为被依法追究刑事责任，工厂可以依据法律规定和劳动合同约定对派遣工进行处理，包括开除。
三、工厂非法开除派遣工的法律后果
如果工厂未经合法程序或未满足合法条件而随意开除派遣工，将可能面临以下法律后果：
支付经济补偿金或赔偿金：根据《劳动合同法》的相关规定，如果工厂非法开除派遣工，派遣工有权要求工厂支付经济补偿金或赔偿金。经济补偿金的计算标准通常与派遣工的工作年限和工资水平相关。
恢复劳动关系：在特定情况下，如果派遣工要求恢复劳动关系，且法院或劳动仲裁机构认为恢复劳动关系是合理的，工厂可能需要恢复与派遣工的劳动关系，并支付相应的工资和福利。
承担行政责任或刑事责任：如果工厂的非法开除行为违反了相关法律法规，还可能面临行政处罚或刑事责任。
四、建议与提醒
工厂应完善规章制度：工厂应制定合法、合理且经过公示的规章制度，明确派遣工的行为规范和处罚措施，以确保在处理派遣工时能够有法可依、有章可循。
工厂应依法处理派遣工：在处理派遣工时，工厂应严格遵守法律法规和劳动合同约定，确保处理程序的合法性和公正性。避免因非法开除而引发法律纠纷和不必要的经济损失。
派遣工应了解自身权益：作为派遣工，也应了解自身的合法权益和维权途径。在遭遇非法开除时，可以及时向劳务派遣公司或相关部门反映情况，并寻求法律援助或提起劳动仲裁或诉讼来维护自己的合法权益。
如果你作为派遣工遇到了非法开除的情况，或者工厂在处理派遣工时存在疑问，都可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议。