公司开除员工时的补偿金计算是一个涉及多个因素的问题，需要综合考虑员工的合同条款、适用的法律法规以及具体的解雇原因。以下是对这一问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同且无需支付补偿的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下情形下公司解除劳动合同无需支付经济补偿：
- 员工在试用期间被证明不符合录用条件；
- 员工严重违反用人单位的规章制度；
- 员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正；
- 员工因欺诈、胁迫等手段致使劳动合同无效；
- 员工被依法追究刑事责任。
在这些情况下，公司可以合法解除劳动合同，且无需支付任何经济补偿。
二、合法解除劳动合同但需支付经济补偿的情形
若公司合法解除劳动合同，但非员工过错或因经济性裁员等原因，需向员工支付经济补偿。具体计算方式如下：
经济补偿标准：
- 按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且经济补偿的年限最高不超过十二年。
举例说明：
- 员工甲工作3年2个月，平均月薪5000元，应得经济补偿为3.5×5000=17500元。
- 员工乙工作10年，月薪20000元，当地月平均工资5000元，应得经济补偿为10×15000=150000元（因乙的工资高于三倍月平均工资，故按月平均工资三倍计算）。
三、违法解除劳动合同需支付赔偿金的情形
若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无正当理由随意开除员工，则需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。具体计算方式如下：
- 赔偿金标准：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2。
- 举例说明：员工丙工作2年8个月，平均月薪6000元，若公司违法解除劳动合同，应支付的赔偿金为3×6000×2=36000元。
四、特殊情况的补偿标准
- 对于月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的员工，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 在特定情况下，如员工因病被辞退，公司除支付经济补偿金外，可能还需根据具体情况支付额外的医疗补助费等。
五、建议与注意事项
公司角度：
- 在开除员工时，应严格遵守相关法律法规，确保开除行为的合法性和合理性。
- 保留好相关证据，如员工违规记录、考勤记录等，以备不时之需。
员工角度：
- 了解自己的权益和公司的赔偿责任。
- 保留好劳动合同、工资条、考勤记录等相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。
- 如与公司存在纠纷，优先通过协商解决；协商不成时，可向劳动仲裁机构或法院提起诉讼。
综上所述，公司开除员工时的补偿金计算需根据具体情形确定，包括开除的合法性、员工的工作年限、月工资水平以及是否存在特殊情况等因素。希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时告知。