结论：执行拘留当天因病看守所不予收押的，该拘留时间一般不折抵刑期，但具体是否折抵需根据后续情况及法律规定综合判断。

分析说明：

1. 一般原则：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，刑期折抵通常指的是犯罪嫌疑人、被告人在被羁押期间，其羁押时间可以折抵判决后的刑期。然而，这一原则的应用前提是犯罪嫌疑人、被告人确实被实际羁押。
   • 在执行拘留当天，若因病看守所不予收押，意味着犯罪嫌疑人并未被实际羁押，因此，从一般原则上讲，该拘留时间不应折抵刑期。

2. 特殊情况：

   • 后续羁押：如果犯罪嫌疑人后续被成功收押，并且该拘留决定与后续的羁押决定是连续的，那么在实际操作中，可能会考虑将拘留时间与羁押时间合并计算，但这并非法定折抵，而是基于案件具体情况和司法实践的灵活处理。但这种情况并不常见，且需要具体案件具体分析。
   • 疾病治疗与羁押：如果犯罪嫌疑人因病需要治疗，且在治疗期间被持续监视居住或采取其他强制措施，那么根据相关法律规定，监视居住或采取其他强制措施的时间在一定条件下可能折抵刑期。但这同样需要具体案件具体分析，并且需要满足一定的法律条件。

3. 法律建议：

   • 对于犯罪嫌疑人或其家属而言，如果遇到执行拘留当天因病看守所不予收押的情况，应及时与办案机关沟通，了解后续处理方式和可能的影响。
   • 同时，可以咨询专业律师，根据案件具体情况和法律规定，评估是否有可能争取刑期的折抵或其他合法权益的保障。

后续行动建议：

• 如果犯罪嫌疑人后续被收押或采取其他强制措施，应及时记录并保存相关证据，以便在需要时证明羁押或强制措施的连续性。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据案件具体情况和法律规定，提供专业的法律意见和帮助。