工厂不给员工签订劳动合同是违法的。这一行为严重侵害了劳动者的合法权益，下面我将从法律规定、法律后果以及劳动者权益维护途径三个方面进行详细分析：
一、法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。这意味着，工厂在招用员工后，有义务在一个月内与员工签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
二、法律后果
如果工厂未按照法律规定与员工签订劳动合同，将承担以下法律后果：
支付双倍工资：根据《劳动合同法》第八十二条，若工厂自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一规定旨在惩罚用人单位的违法行为，并保障劳动者的合法权益。
视为订立无固定期限劳动合同：若工厂自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法实施条例》第七条，不仅需继续支付双倍工资（自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日），还视为已与劳动者订立无固定期限劳动合同，并应立即补签书面合同。这意味着，即使双方没有书面合同，劳动者也享有与有固定期限劳动合同员工相同的权益。
面临行政处罚：劳动行政部门有权责令工厂限期改正不签合同的行为，逾期不改的，将按每人一定金额的标准对工厂进行罚款。这一措施旨在促使工厂遵守法律法规，及时与员工签订劳动合同。
三、劳动者权益维护途径
面对工厂不签订劳动合同的情况，劳动者可以通过以下途径维护自身权益：
协商：首先尝试与工厂进行沟通，要求签订劳动合同并支付未签合同期间的双倍工资。这种方式直接且便捷，如果工厂态度积极并愿意配合，问题往往能迅速得到解决。
投诉：若协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉。投诉时需准备充分的证据材料，如工作证、考勤记录、工资发放记录等，以证明自己与工厂的劳动关系及工厂不提供劳动合同的事实。劳动监察部门将依法对工厂进行调查，并在查证属实后责令其限期改正。
仲裁或诉讼：如工厂仍不配合，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付双倍工资、补签劳动合同以及赔偿其他相关损失。如对仲裁结果不服，劳动者还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
总结与建议：工厂不给员工签订劳动合同是违法的，劳动者有权要求工厂承担相应的法律责任。为了保障自己的权益，劳动者应主动与工厂签订劳动合同，并妥善保管好合同原件。在遇到问题时，及时寻求法律援助或向相关部门投诉举报，以维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。