当被告向人民法院申请追加第三人时，法院会依据《中华人民共和国民事诉讼法》及其相关司法解释的规定，进行一系列严谨而细致的处理。以下是对这一流程的详细阐述：

一、申请提出与初步审查

1. 申请提出：

   • 被告若认为案件的处理结果与某一第三方存在法律上的利害关系，可以向人民法院提出追加第三人的申请。
   • 申请应以书面形式提交，并详细阐述追加第三人的理由、事实依据以及该第三人与案件的具体关联。

2. 初步审查：

   • 法院在收到申请后，会进行初步审查，以判断申请是否符合法定条件。
   • 审查内容主要包括：申请是否在规定期限内提出、申请追加的第三人是否与案件存在法律上的利害关系等。

二、通知被申请人与答辩

1. 通知被申请人：

   • 若法院认为申请符合条件，会向被申请追加的第三人发出通知书，告知其作为第三人参加诉讼。
   • 通知书会明确告知第三人的诉讼权利和义务，以及案件的基本情况和争议焦点。

2. 答辩与举证：

   • 第三人在收到通知书后，有权在法定期限内提交答辩状，对原告的诉讼请求及所依据的事实和理由进行反驳。
   • 同时，第三人还可以提供证据支持自己的主张，或对原告提供的证据进行质证，以维护自己的合法权益。

三、开庭审理与判决

1. 开庭审理：

   • 法院会将追加第三人的申请纳入庭审范围，组织双方当事人及第三人进行法庭调查和辩论。
   • 在法庭调查阶段，法院会查明案件事实，核实证据的真实性、合法性和关联性。
   • 在法庭辩论阶段，各方当事人可以就争议焦点发表意见，进行充分的辩论。

2. 作出判决：

   • 根据审理情况，法院会依法作出判决。
   • 如果第三人与案件存在法律上的利害关系，且其权利义务关系需要得到确认和保护，法院会在判决中明确第三人的责任和义务。

四、特殊情况下的处理

1. 无独立请求权第三人的处理：

   • 若第三人虽与案件处理结果有法律上的利害关系，但并未提出独立的诉讼请求，其地位相对被动，主要是辅助一方当事人进行诉讼。
   • 如果法院认为无独立请求权的第三人应当承担民事责任，可以在判决中直接列明其应承担的责任。

2. 有独立请求权第三人的处理：

   • 若第三人认为原被告之间的诉讼标的侵犯了自己的合法权益，向法院提出了独立的诉讼请求，法院会将原被告之间的诉讼和有独立请求权的第三人之诉合并审理。
   • 合并审理后，法院会根据各方当事人的诉讼请求和证据，依法作出判决。

3. 必要共同诉讼人的追加：

   • 如果必须共同进行诉讼的当事人没有参加诉讼，法院会通知其参加诉讼，以确保案件的公正审理。

五、法律依据

• 《中华人民共和国民事诉讼法》第五十九条：“对当事人双方的诉讼标的，第三人认为有独立请求权的，有权提起诉讼。对当事人双方的诉讼标的，第三人虽然没有独立请求权，但案件处理结果同他有法律上的利害关系的，可以申请参加诉讼，或者由人民法院通知他参加诉讼。”
• 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第八十一条：“根据民事诉讼法第五十九条的规定，有独立请求权的第三人有权向人民法院提出诉讼请求和事实、理由，成为当事人；无独立请求权的第三人，可以申请或者由人民法院通知参加诉讼。”

综上所述，当被告申请追加第三人时，人民法院会依据相关法律法规进行严谨而细致的处理，以确保案件的公正、公平和高效审理。