在抖音发布别人身份信息、家庭住址、手机号等，即使对方书面表示不追究责任，这种行为仍然是违法的，且对方的不追究并不免除你的法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、民事责任
隐私权侵犯：根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权，任何组织或个人不得非法侵扰、泄露、公开他人隐私。将他人的身份信息、家庭住址、手机号等发布在抖音上，显然侵犯了他人的隐私权。
民事责任承担：根据《中华人民共和国民法典》第一百七十九条，侵犯他人隐私权的，信息所有者有权要求侵权人承担民事责任，包括停止侵害、赔偿损失、赔礼道歉等。因此，即使对方书面表示不追究，你仍然可能需要承担这些民事责任。
二、行政责任
散布他人隐私：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条，散布他人隐私的行为，可处以五日以下拘留或五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
行政处罚的独立性：行政处罚的作出是基于违法行为的性质和后果，而不是基于受害人的意愿。因此，即使对方书面表示不追究，你仍然可能面临行政处罚。
三、刑事责任（如情节严重）
侵犯公民个人信息罪：根据《中华人民共和国刑法》第二百五十三条之一，违反国家有关规定，向他人出售或提供公民个人信息，情节严重的，构成侵犯公民个人信息罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役，并处或单处罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
刑事责任的不可免除性：刑事责任是基于违法行为的严重性和社会危害性而判定的，与受害人的意愿无关。因此，即使对方书面表示不追究，如果行为达到情节严重的程度，你仍然可能面临刑事责任。
四、对方书面不追究的效力
民事赔偿的协商：在民事赔偿方面，如果对方书面表示不追究，可能意味着双方就赔偿问题达成了和解。但这并不免除你因侵犯隐私权而可能承担的其他民事责任，如赔礼道歉等。
不免除行政和刑事责任：如前所述，行政责任和刑事责任是基于违法行为的性质和后果而判定的，与受害人的意愿无关。因此，对方的不追究并不能免除你可能面临的行政和刑事责任。
建议：
立即停止侵权行为：如果你已经在抖音上发布了别人的身份信息、家庭住址、手机号等，应立即删除这些信息，以避免进一步的法律后果。
与受害人协商：尽管对方书面表示不追究，但出于道德和法律义务，你可以主动与受害人协商，表达歉意并寻求和解。
咨询专业律师：如果你对法律责任有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我可以根据你的具体情况，为你提供详细的法律建议和解决方案。
总之，尊重他人的隐私权是每个人的法律义务。在社交媒体上发布他人信息时，务必谨慎行事，避免侵犯他人的合法权益。