结论：客户在店里落下东西隔了一个月来寻找，店里是否有责任需分情况讨论，主要取决于店里是否尽到了安全保障义务以及物品丢失的具体原因。
分析如下：
店里已尽安全保障义务，无过错：
- 如果店里在客户遗留物品后，已经采取了合理的措施来保管该物品，比如将物品妥善存放于安全的地方，并尝试联系客户或等待客户返回领取，且在此期间物品未因店里的过错而丢失或损坏，那么当客户一个月后来寻找时，店里通常不承担责任。因为店里已经尽到了其作为经营场所管理者的安全保障义务。
店里未尽安全保障义务，有过错：
- 如果店里在客户遗留物品后，未采取任何保管措施，或者保管措施不当导致物品丢失或损坏，比如将物品随意放置在易被他人拿走的地方，或者未对物品进行妥善看管，那么当客户一个月后来寻找时，店里可能需要承担一定的责任。这种责任可能基于侵权责任法中的过错责任原则，即店里因其过错行为导致了客户物品的丢失或损坏，应当承担相应的赔偿责任。
特殊情况考虑：
- 还需要考虑一些特殊情况，比如客户遗留的物品是否属于贵重物品、店里是否有明确的告示或规定关于遗留物品的处理方式等。如果客户遗留的是贵重物品，且店里明知而未采取特别保管措施，那么店里可能需要承担更大的责任。另外，如果店里有明确的告示或规定关于遗留物品的处理方式，比如要求客户在一定时间内返回领取，否则将视为放弃物品等，那么这些规定也可能影响店里是否承担责任以及承担责任的大小。
法律建议：
- 对于客户而言，如果发现自己在店里遗留了物品，应尽快返回寻找，并保留好相关证据（如购物凭证、监控录像等）以证明物品是在店里遗留的。
- 对于店里而言，应建立健全的遗留物品处理制度，明确保管措施和领取流程，并在店内显著位置进行告示。同时，在发现客户遗留物品后，应尽快联系客户或采取其他合理措施来保管物品，以避免不必要的纠纷和损失。
可能后果：
- 如果店里被认定需要承担责任，那么可能需要根据物品的价值和店里的过错程度来赔偿客户的损失。
- 如果店里能够证明自己已经尽到了安全保障义务且无过错，那么可能不需要承担赔偿责任。但在此情况下，店里也应积极与客户沟通解释情况，以维护良好的客户关系和店铺声誉。
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