针对政府部门欠老百姓多年不付的情况，老百姓可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
协商与沟通：
- 首先，建议老百姓尝试与政府部门进行友好协商，明确欠款的事实、金额及支付期限。在协商过程中，可以要求政府部门出具书面的还款计划或承诺，以确保双方权益。
- 协商时，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求，并倾听政府部门的解释和困难，共同寻求解决方案。
行政复议：
- 如果协商无果，老百姓可以向上一级行政机关或者本级人民政府提出行政复议申请。行政复议是一种行政救济途径，旨在纠正行政机关的违法行为或不当行为。
- 在申请行政复议时，需要提交书面申请，并附上相关证据材料，如欠款凭证、协商记录等。行政复议机关将对申请进行审查，并作出复议决定。
行政诉讼：
- 若行政复议未能解决问题，老百姓可以向人民法院提起行政诉讼。行政诉讼是公民、法人或其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益时，依法向人民法院提起诉讼，由人民法院进行审理并作出判决的制度。
- 在提起行政诉讼时，需要准备充分的证据材料，包括欠款事实、协商及复议过程等，以证明自己的诉求合理合法。人民法院将依法审理案件，并作出公正判决。
申请强制执行：
- 如果老百姓在行政诉讼中胜诉，但政府部门仍不履行判决确定的支付义务，老百姓可以向人民法院申请强制执行。强制执行是人民法院根据生效法律文书，采取强制措施迫使被执行人履行义务的行为。
- 在申请强制执行时，需要提交生效的法律文书（如判决书、裁定书等）及申请执行书等材料。人民法院将对申请进行审查，并依法采取强制执行措施，如查封、扣押、拍卖等，以保障老百姓的合法权益。
在处理此类问题时，老百姓还需要注意以下几点：
- 保留证据：务必保留好与政府部门欠款相关的所有证据材料，如合同、发票、收据、协商记录等。这些证据将在后续的协商、复议或诉讼过程中发挥重要作用。
- 及时行动：一旦发现政府部门欠款不付，应尽快采取行动，避免超过诉讼时效或复议期限。根据《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律规定，公民、法人或其他组织提起行政诉讼的期限一般为知道或应当知道行政行为作出之日起六个月内。
- 寻求专业帮助：在处理此类复杂法律问题时，建议老百姓寻求专业律师的帮助。律师具备专业的法律知识和实践经验，能够为老百姓提供全面的法律咨询和代理服务，提高维权成功率。
最后，我想强调的是，维护自己的合法权益是每个公民的权利和责任。面对政府部门欠款不付的情况，老百姓应勇敢站出来，通过合法途径维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。