核心结论：在工厂上班弄伤了手但没有第一时间就医，后续仍可通过合法途径维护自身权益，但需尽快采取补救措施并注意证据收集。以下是具体分析和建议：

1. 尽快就医并保留证据

• 补救措施：即使未第一时间就医，也应立即前往正规医院治疗，避免伤情加重。治疗时需明确告知医生受伤时间、地点及原因（如“在工厂工作时被机器割伤”），确保病历记录与工伤事实关联。
• 证据保留：要求医院出具详细诊断证明、病历、医疗费发票等，这些是后续认定工伤和索赔的关键材料。若伤情可能影响劳动能力，可申请劳动能力鉴定。

2. 及时报告工厂并申请工伤认定

• 报告义务：根据《工伤保险条例》，职工发生事故伤害后，用人单位应在30日内向社保部门提出工伤认定申请。若工厂未及时申请，您或近亲属可在1年内直接申请。
• 认定流程：向当地社保部门提交工伤认定申请表、劳动关系证明（如劳动合同）、医疗诊断证明等材料。即使未第一时间就医，只要证据充分，仍可能被认定为工伤。

3. 注意时效与程序要求

• 工伤认定时效：自事故发生之日起1年内申请工伤认定，逾期可能丧失权利（特殊情况可延长）。
• 劳动仲裁或诉讼：若工厂拒绝承担责任，可申请劳动仲裁要求支付医疗费、停工留薪期工资等；对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

4. 可能面临的挑战与应对

• 因果关系争议：工厂可能主张伤情与工作无关或系自身过错导致。此时需通过病历、证人证言、监控录像等证明伤害发生在工作过程中且非故意自伤。
• 证据缺失风险：若未及时就医导致伤情与工作关联性存疑，可补充提供同事证言、工作记录、现场照片等辅助证据。

5. 特殊情况处理

• 未签劳动合同：若工厂未签合同，可通过工资流水、工牌、考勤记录等证明劳动关系，再申请工伤认定。
• 第三方侵权：若伤害由第三方（如设备供应商）造成，可同时追究工厂的工伤保险责任和第三方的侵权责任。

温馨提示：工伤赔偿涉及医疗费、误工费、伤残补助等多项权益，建议尽快行动以避免证据灭失或时效过期。如有疑问或需进一步协助，可直接向我咨询具体操作流程。