结论：公司工会在银行既不需要登记法人资格证，也不需要备案法人资格证，工会法人资格证是在相关工会组织管理部门进行登记后取得的，与银行无直接登记或备案关系。以下为你详细解释：

从工会法人资格证的登记管理角度

工会作为社会团体法人，其法人资格的取得和登记管理有着特定的规定和流程。根据《中华人民共和国工会法》以及相关的工会登记管理条例，工会法人资格证是在县级以上地方总工会或者上级工会进行登记后取得的。工会需要向这些工会组织管理部门提交相关的申请材料，如工会的章程、组建文件、会员信息等，经过审核通过后，工会组织管理部门会为工会颁发工会法人资格证书。这一过程主要是在工会系统内部进行，目的是确认工会的法人地位，赋予其独立的民事权利能力和行为能力，使其能够以自己的名义开展活动、承担责任。而银行并不具备对工会法人资格进行登记的职能和权限，所以不存在在银行登记工会法人资格证的情况。

从银行开户等业务与工会法人资格证的关系角度

当工会需要在银行开立账户时，银行主要关注的是工会提供的开户资料是否符合规定，以确认工会的合法身份和开户的合规性。工会需要向银行提供工会法人资格证书、工会负责人身份证件等相关文件，但这些文件是作为开户的证明材料，而不是在银行进行法人资格证的登记或备案。银行在审核这些资料后，会按照自身的开户流程为工会开立账户，方便工会进行资金的管理和使用。所以，银行在这个过程中只是对工会已有的法人资格进行形式上的审查和确认，而不是对工会法人资格证进行登记或备案。