当劳务派遣员工被公司辞退时，公司应当开具解除劳动合同的证明。以下是对此问题的详细分析：

一、法律要求

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定同样适用于劳务派遣员工，因为劳务派遣员工与用人单位（即劳务派遣公司）之间存在劳动关系。

二、证明的内容与作用

1. 证明的内容：解除劳动合同的证明应当写明劳动合同期限、解除或者终止劳动合同的日期、工作岗位、在本单位的工作年限等信息。这些信息对于劳动者后续寻找新工作、办理失业登记、享受失业保险待遇等都具有重要作用。

2. 证明的作用：

   • 求职凭证：劳动者在寻找新工作时，新雇主通常会要求提供前一份工作的离职证明，以确认劳动者的工作经历和离职状态。
   • 办理失业登记：劳动者在失业后，需要凭解除劳动合同的证明到当地公共就业服务机构办理失业登记，以便享受失业保险待遇。
   • 维护权益：如果劳动者认为用人单位的辞退行为违法，解除劳动合同的证明也是劳动者维权的重要证据之一。

三、未开具证明的法律后果

如果用人单位未按照法律规定开具解除劳动合同的证明，可能会面临以下法律后果：

1. 行政责任：劳动行政部门可能会责令用人单位改正，并可能对其处以罚款。

2. 民事责任：如果因用人单位未开具证明给劳动者造成损害的，用人单位应当承担赔偿责任。例如，劳动者因无法提供离职证明而错过新工作的机会，用人单位可能需要赔偿劳动者因此遭受的损失。

四、建议与注意事项

1. 及时索要证明：劳动者在被辞退时，应当及时向用人单位索要解除劳动合同的证明。如果用人单位拒绝开具或拖延开具，劳动者可以向劳动行政部门投诉或寻求法律援助。

2. 保留相关证据：劳动者在索要证明的过程中，应当保留好与用人单位沟通的记录、辞退通知等相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。

3. 咨询专业律师：如果劳动者对用人单位的辞退行为或解除劳动合同的证明有疑问或争议，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总之，当劳务派遣员工被公司辞退时，公司应当开具解除劳动合同的证明。这是用人单位的法定义务，也是劳动者维护自己合法权益的重要依据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。