在我国，监督宪法和法律实施的核心国家机关是全国人民代表大会及其常务委员会。以下是对这一问题的详细解析：
全国人民代表大会的监督职权：
- 根据《中华人民共和国宪法》第六十二条的规定，全国人大行使“监督宪法的实施”的职权。作为最高国家权力机关，全国人大在监督宪法实施中具有根本性、全局性的地位。它有权对任何违反宪法的行为进行调查、审议，并作出相应决定，确保宪法的权威性和有效性得到维护。
全国人民代表大会常务委员会的监督职权：
- 《中华人民共和国宪法》第六十七条规定，全国人大常委会行使“解释宪法，监督宪法的实施”的职权。作为全国人大的常设机关，在全国人大闭会期间，全国人大常委会代行其部分职能，包括日常性的宪法监督工作。它通过制定和解释法律、审查行政法规和地方性法规等方式，确保法律法规与宪法的一致性，从而维护宪法的权威和尊严。
二者在监督宪法实施中的关系：
- 全国人大和全国人大常委会在监督宪法实施方面既分工明确又相互配合。全国人大负责宏观层面的宪法监督，具有最高的权威性和决策权；而全国人大常委会则负责日常性的、具体的宪法监督工作，确保宪法监督工作的连续性和有效性。这种分工合作的方式，使得我国宪法监督体系更加完善、高效。
其他国家机关的角色：
- 虽然国务院、最高人民法院、最高人民检察院等国家机关并不直接承担监督宪法实施的职责，但它们在各自的职责范围内负有保证宪法实施的义务。这些机关通过执行和实施法律、法规和司法解释等方式，间接地参与和维护宪法的实施过程，共同维护国家法制的统一和尊严。
法律背景与建议：
- 宪法是国家的根本大法，具有最高的法律效力。监督宪法实施是维护国家法制统一和尊严的重要保障。全国人大及其常委会作为宪法监督的主体，承担着重要的职责和使命。
- 对于公民而言，了解宪法和法律的实施情况，增强宪法意识，是维护自身权益、参与社会治理的重要基础。当发现违反宪法的行为时，可以通过合法途径向相关部门反映，共同维护宪法的权威和尊严。
- 如果您对宪法和法律的实施有进一步的疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，监督宪法和法律实施的核心国家机关是全国人民代表大会及其常务委员会。它们依据宪法赋予的职权，通过各自的工作方式和程序，共同构成了我国宪法监督的完整体系。